5. 2群の差の分析1

https://gyazo.com/4f7dfd91756d579cff6ea820ee6ff329

心理学的知覚時間(聴音条件)

「音楽を聴きながら私はどれほど正確に時間の長さを評価できるだろう」

深呼吸して、30秒間を時計で確認(最初の1回だけ)

「歓喜の歌 ベートーベン交響曲第9番」を流す

スタートし、30秒間を過ぎたと思った時点でストップする(100分の1秒まで)

20回繰り返す

5.1 2群のデータとは

「知覚時間」の実験に聴音条件を加えた実験

このデータに大使、実時間30秒を基準点として1群の正規分布の推測を行うことも興味部会こと

聴音条件と何もしていない条件の差として考察することも同程度に興味深い

ここでは「音楽を聴くこと」の効果を調べるための実験データ

実験群に対する働きかけ

ここでは「音楽を聴くこと」

処理をしないデータ

処理以外は実験群と対照群の状態をできるだけ同一にすることが大切

実験群と対照群を使った実験は心理学だけではない

喫煙が肺がんに与える影響を調べるために、喫煙者達を実験群、非喫煙者を対照群と予備、肺がんの罹患数を比較する

ここでは「喫煙」

治療行為の効果を調べるためには治療群と、非治療群を比較する

ここでは「治療」

性別による反応時間の違いを調べるために、男性群と女性群を比較する

ここでは「性別」

5.1.1. 数値要約・図的要約

table: 表5-2 「知覚時間データ」の数値要約

統計量 平均 sd 分散 25%点 50%点 75%点

実験群 32.76 2.35 5.53 31.46 32.32 34.60

対照群 31.04 2.07 4.28 29.89 31.26 32.43

第5章から第8章までは、平均値の大きい群を第1群と呼び、平均値の小さい群を第2群と呼ぶ

ここでは第1群が実験群、第2群が対照群

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箱ひげ図は、箱とその両側にでたひげで、データの分布を表現する

箱の上端は75%点、その箱の下端は25%点、箱内の横棒は50%点

75%点と25%点との差

ただし箱ひげ図には様々な書き方のバリエーションがある

外れ値は書かない流儀

外れ値を程度に応じて分類する流儀など

積率系の統計量ではなく、主として分位系の統計量で描かれることが、箱ひげ図の特徴

箱ひげ図を観察することにより、実験条件のほうが対照条件よりも平均的に測定時間が長いこと、ちらばりが大きいことがはっきりと見て取れる

測定時間が長いということは、30秒という実時間を短く知覚しているということであり、解釈的意味が測定時間と逆になることに注意する

5.1.2. リサーチクエスチョン

実験群と対照群の差とは

これは現実的要請に依存した問いであり、一意には定まらず、実はとても多様で豊かな目標を包含している

平均値の差は重要であるが、そればかりではない

以下のような研究上の問い(RQ., リサーチクエスチョン)がすぐに着想される

RQ.1 第1群の平均値が第2群の平均値より大きい確率

e.g. 音楽を聴いていると、退屈にならずに時間のたつのが早いかもしれない。実験群の平均時間が、対照群の平均時間より長い確率はどれほどだろう

RQ.2 第1群と第2群の平均値の差の点推定。平均値の差の区間推定

e.g. 実験群の平均時間は対照群の平均時間より何秒長いだろう。またその差はどの程度の幅で確信できるだろう

RQ.3 平均値の差の片側区間推定の上限・下限

e.g. 実験群の平均時間は対照群の平均時間より少なくとも何秒長いだろう。高々何秒長いだろう

e.g. 平均値に差があるといっても、それが0.01秒では意味がないかもしれない。たぶんないだろう。たとえば実験群の平均時間が、測定単位である1秒以上、対照群の平均時間より長い確率はどれほどだろう

5.2. 2群の正規分布モデル

ベイズ統計学はベイズの定理を使用して現象のモデル化を行う

ベイズの定理は母数の事後分布を与えた

(2.15)式を再掲しておく

$ f(\bm \theta| \bm x) \propto f(\bm x| \bm\theta)f(\bm \theta)

事後分布は尤度と事前分布の積に比例する

5.2.1. 標準偏差が共通した正規分布モデル

$ \bm x = (\bm x_1, \bm x_2) \qquad (5.1)

のように、2つの群に分けることができる場合がある

$ \begin{aligned} \bm x_1 &= (x_{11}, x_{12}, \cdots, x_{{1n}_1}) &= (32.30, 34.24, \cdots, 32.12, 31.81) &, \\ \bm x_2 &= (x_{21}, x_{22}, \cdots, x_{{2n}_{2}}) &= (31.43, 31.09, \cdots, 32.35, 31.57) \end{aligned} \qquad (5.2)

ここでは第1群が実験群、第2群が対照群として説明を行うがどちらでもよい

$ x_{1i} \sim N(\mu_1, \sigma), x_{2i} \sim N(\mu_2, \sigma) \qquad (5.3)

とすると、母数の集まりは

$ \bm\theta = (\mu_1, \mu_2, \sigma) \qquad (5.4)

まず、郡内・群間で測定が独立だとすると、(2.12)式に相当する尤度は

$ \begin{aligned} f(\bm x|\bm \theta) &= f(\bm x_1, \bm x_2| \mu_1, \mu_2, \sigma) \\ &= f(x_{11}|\mu_1, \sigma) \times \cdots \times f(x_{1n_1}|\mu_1, \sigma) \times f(x_{21}|\mu_2, \sigma) \times \cdots \times f(x_{2n_2}|\mu_2, \sigma) \qquad (5.5)\end{aligned}

これで尤度のパートは決まった

次に、母数は互いに独立であると仮定し、(2.14)式に相当する同時事前分布を導く

$ f(\bm\theta) = f(\mu_1, \mu_2, \sigma) = f(\mu_1)f(\mu_2)f(\sigma) \qquad (5.6)

これで事前分布のパートが決まった

最後に、(2.15)式に相当する事後分布を導く

$ f(\bm\theta|\bm x) = f(\mu_1, \mu_2, \sigma|\bm x_1, \bm x_2) \propto f(\bm x_1, \bm x_2|\mu_1, \mu_2, \sigma)f(\mu_1, \mu_2, \sigma) \qquad (5.7)

MCMC法を利用することにより、正規化定数は必要なくなり、母数の事後分布・生成量の事後分布・予測分布に従う乱数を生成することが可能になる

$ x_1^{*(t)} \sim N(\mu_1^{(t)}, \sigma^{(t)}) \qquad (5.8)

$ x_2^{*(t)} \sim N(\mu_2^{(t)}, \sigma^{(t)}) \qquad (5.9)

という乱数列で近似される

また、(3.7)式に相当する条件付き予測分布は、何らかの推定値を用いて

$ f(\bm x^*|\hat\bm\theta) = f(x_1^*, x_2^*|\hat\mu_1, \hat\mu_2, \hat\sigma) = f(x_1^*|\hat\mu_1,\hat\sigma)f(x_2^*|\hat\mu_2, \hat\sigma) \qquad (5.10)

とする

5.2.2. 標準偏差が異なる正規分布モデル

ここでは標準偏差が群ごとに異なる正規分布モデルを紹介する

データの形式である(5.1)式、(5.2)式に変化はない

(5.3式)を2群の測定値が異なった標準偏差を持つ正規分布に従っているとする

$ x_{1i} \sim N(\mu_1, \sigma_1), x_{2i} \sim N(\mu_2, \sigma_2) \qquad (5.11)

(5.4式)の母数ベクトルは要素が1つ増える

$ \bm\theta = (\mu_1, \mu_2, \sigma_1, \sigma_2) \qquad (5.12)

まず、郡内・群間で測定が独立だとすると、(5.5式)に相当する尤度は以下になる

$ \begin{aligned} f(\bm x|\bm \theta) &= f(\bm x_1, \bm x_2| \mu_1, \mu_2, \sigma_1, \sigma_2) \\ &= f(x_{11}|\mu_1, \sigma_1) \times \cdots \times f(x_{1n_1}|\mu_1, \sigma_1) \times f(x_{21}|\mu_2, \sigma_2) \times \cdots \times f(x_{2n_2}|\mu_2, \sigma_2) \qquad (5.13)\end{aligned}

次に、(5.6)式に相当する同時事前分布を以下とする

$ f(\bm\theta) = f(\mu_1, \mu_2, \sigma_1, \sigma_2) = f(\mu_1)f(\mu_2)f(\sigma_1)f(\sigma_2) \qquad (5.14)

最後に、(5.7)式に相当する事後分布を導く

$ f(\bm\theta|\bm x) = f(\mu_1, \mu_2, \sigma_1, \sigma_2|\bm x_1, \bm x_2) \propto f(\bm x_1, \bm x_2|\mu_1, \mu_2, \sigma_1, \sigma_2)f(\mu_1, \mu_2, \sigma_1, \sigma_2) \qquad (5.15)

(5.8)式、(5.9)式に相当する事後予測分布は

$ x_1^{*(t)} \sim N(\mu_1^{(t)}, \sigma_1^{(t)}), x_2^{*(t)} \sim N(\mu_2^{(t)}, \sigma_2^{(t)}) \qquad (5.16)

という乱数列で近似できる

(5.10)式に相当する条件付き予測分布は何らかの推定値を用いて以下とする

$ f(\bm x^*|\hat\bm\theta) = f(x_1^*, x_2^*|\hat\mu_1, \hat\mu_2, \hat\sigma_1, \hat\sigma_2) = f(x_1^*|\hat\mu_1,\hat\sigma_1)f(x_2^*|\hat\mu_2, \hat\sigma_2) \qquad (5.17)

5.3. 母平均の差

母平均の差の事後分布は生成量

$ g(\mu_1^{(t)}, \mu_2^{(t)}) = \mu_1^{(t)} - \mu_2^{(t)} \qquad (5.18)

によって近似できる

近似された事後分布を要約して、点推定値、post.sd、確信区間、片側上限、片側下限の点を評価する(RQ.2, RQ.3)

5.3.1. 母平均に差がある確率

が正しい確率は、生成量

$ u_{\mu_1 > \mu_2}^{(t)} = \begin{cases} 1 & \mu_1^{(t)} - \mu_2^{(t)} > 0 \\ 0 & それ以外の場合 \end{cases} \qquad (5.19)

のEAPで評価する(RQ.1)

5.3.2. 母平均に一定以上の差がある確率

しかし差が正であれば、それがどんなに微小な差であっても、この命題は真になる

どちらが大きいかという定性的な性質にのみ興味がある場合以外は、これは実質科学的にしばしば不自然な研究仮説でもある

が正しい確率は、生成量

$ u_{\mu_1 - \mu_2 > c}^{(t)} \begin{cases} 1 & \mu_1^{(t)} - \mu_2^{(t)} > c \\ 0 & それ以外の場合\end{cases} \qquad (5.20)

のEAPで評価する(RQ.4)

5.4. 分析

「知覚時間データ」に独立した2群の平均値差などの推測を行う

5.4.1. MCMC法のようす

5.4.2. 母平均の差

平均とsdと平均の差の事後分布と予測分布の推定結果を表5-3と表5-4に示す

表5-3が標準偏差が共通したモデル(以後, EQU)の結果

https://gyazo.com/fa74dfb646ce04f095c757cd1e5060a4

表5-4が標準偏差が異なるモデル(以後, DEF)の結果

https://gyazo.com/c5698b64be16c7f0ac0513bd304951d4

まず点推定値を観察する

EQUとDEFの順に

EQU

DEFの標準偏差

EQUの推定値は、DEFの推定値の間にある

https://gyazo.com/b6036ab5fd78dd3c67e7a7d697efe364

5.4.3. 予測分布

EQUの場合

DEFの場合

ただし、解釈に影響するほどではない

5.4.4. 差がある確率

(5.19)式と(5.20)式による平均値の差の確率を表5-5に示す

https://gyazo.com/c3202e21f10be9bbe5ad045de2261419

放送授業

聴音状態と安静状態では『知覚時間』の母平均は等しい

$ t値 = \frac{\bar x_1 - \bar x_2}{2群に共通の標準偏差} \times \sqrt{\frac{n_1 \times n_2}{n_1 + n_2}}

$ t値 = 2.39

平均値の差そのものが検定統計量になるわけではない

なぜこの式はt分布に従うのか

普通は教えない。暗

生成量なら定義式に従って計算するだけで、推測統計的考察が可能

p値とは帰無仮説が真であるときにデータから計算したt値より甚だしいt値が観察される確率

2.2%

参照確率と比較する

p値の本来の意味を誤解してしまいがち

まとめ

p値は、帰無仮説が正しい確率と勘違いされることが多い